Question

下列五個命題，其中真命題的序號是________（寫出所有真命題的序號）．
（1）已知（m∈R），當(dāng)m＜-2時C表示橢圓．
（2）在橢圓=1上有一點P，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的左，右焦點，△F₁PF₂為直角三角形則這樣的點P有8個．
（3）曲線與曲線的焦距相同．
（4）漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一定是
（5）拋物線y=ax²的焦點坐標(biāo)為．

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=-3時，橢圓的方程變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/408577.png' />表示一個圓，故錯；
（2）F₁、F₂是橢圓 的焦點，P是橢圓上一點，且∠F₁PF₂=90°，
∴以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點，圓的半徑r=c≥b，
∴圓與橢圓最多有4個交點，∴，△F₁PF₂為直角三角形則這樣的點P最多有4個．故錯；
（3）曲線與曲線的焦距都為4，相同，故正確；
（4）根據(jù)題意，近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一定是故錯；
（5）整理拋物線方程得x²=y，p=
∴焦點坐標(biāo)為 故正確．
故答案為：（3）（5）
分析：（1）先根據(jù)橢圓方程中2-m不等于m²-4即可得出答案．
（2）由條件知，以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點，故有圓的半徑大于或等于短半軸的長度．結(jié)合圓與橢圓的位置關(guān)系求得答案．
（3）分別求得曲線與曲線的焦距即可；
（4）根據(jù)題意，近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一定是；
（4）先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得焦點坐標(biāo)．
點評：本題考查圓錐曲線的共同特征、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)的應(yīng)用．解決橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的問題．要注意：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 ，當(dāng)焦點在x軸上時，a＞b；當(dāng)焦點在y軸上時，a＜b．