Question

將函數在區間（0，+∞）內的全部極值點按從小到大的順序排成數列{a_n}．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，求數列{a_n•b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用三角函數的誘導公式及二倍角公式化簡函數f（x），令的極值點，判斷出全部極值點按從小到大排列構成以為首項，為公差的等差數列，利用等差數列的通項公式求出通項．
（2）利用b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，求出b_n+1作商，利用等比數列的定義判斷出{b_n}是以為首項，-1為公比的等比數列，利用等比數列的通項公式求出通項，進一步求出數列{a_n•b_n}的通項，利用錯位相減法求出前n項的和．
解答：解：（1）∵ 
=．
令
解得，
所以f（x）的極值點為，
從而它在區間（0，+∞）內的全部極值點按從小到大排列構成以為首項，為公差的等差數列，
∴．
（2）由知對任意正整數n，a_n都不是π的整數倍，
所以sina_n≠0，
從而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0，
于是，，
∴{b_n}是以為首項，-1為公比的等比數列，
∴．
∴，
•（-1）^n-1）
所以+•（2n-1）（-1）ⁿ）
兩式相減得，
數列{a_n•b_n}的前n項和為．
點評：求一個數列的前n項和的方法應該先求出數列的通項，然后按照通項的特點選擇合適的求和方法．