Question

已知在各項不為零的數列{a_n}中，a₁=1，a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N⁺）
（I）求數列{a_n}的通項；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b_n=a_na_n+1，數列{b_n}的前n項和為S_n，求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：（Ⅰ）整理a_na_n-1+a_n-a_n-1=0得

1

an

-

1

an-1

判斷出數列{

1

an

}為等差數列，進而求得數列{

1

an

}的通項公式，則a_n可得．
（Ⅱ）把（1）中的a_n代入b_n=a_na_n+1，求得數列{b_n}的通項公式，進而根據裂項法求得數列的前n項的和，則其極限可得．

解答：解：（Ⅰ）依題意，a_n≠0，故可將a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：

1

an

-

1

an-1

=1(n≥2)
所以

1

an

=1+1×(n-1)=n即an=

1

n

n=1，上式也成立，所以an=

1

n

（Ⅱ）∵b_n=a_na_n+1
∴bn=

1

n

×

1

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Sn=b1+b2+b3++bn=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

n

n+1

=1

點評：本題主要考查了數列的遞推式．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．