Question

已知：向量

a

=(

x

2

，

y

5

)，

b

=(

x

2

，-

y

5

)，曲線

a

•

b

=1上一點P到點F（3，0）的距離為6，M為PF的中點，O為坐標原點，則|OM|=（　　）

A．1

B．2

C．5

D．1或5

Answer 1

分析：由數量積的運算易得方程為雙曲線，由雙曲線的定義結合三角形的中位線的性質，易得答案．

解答：解：∵向量

a

=(

x

2

，

y

5

)，

b

=(

x

2

，-

y

5

)，
∴

a

•

b

=

x

2

•

x

2

+

y

5

•(-

y

5

)=

x2

4

-

y2

5

=1，
對應的圖形是雙曲線，其中a²=4，b²=5，故a=2，b=

5

，c=

a2+b2

=3，
可得點F（3，0）恰好是雙曲線的右焦點，
設雙曲線的左焦點為F'（-3，0），連接PF'、OM
由雙曲線的定義可得|PF-PF'|=|6-PF'|=2a=4，
解得PF'=2或10，
∵OM是△PFF'的中位線，∴|OM|=

1

2

PF'=1或5，
故選D

點評：本題考查平面向量的數量積的運算，涉及雙曲線的定義，屬基礎題．