Question

設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意都有成立， (其中、、是常數(shù))．
（1）當(dāng)，，時，求；
（2）當(dāng)，，時，
①若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②設(shè)數(shù)列中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“數(shù)列”.
如果，試問：是否存在數(shù)列為“數(shù)列”，使得對任意，都有
，且．若存在，求數(shù)列的首項(xiàng)的所
有取值構(gòu)成的集合；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1)=；(2)①；②存在，首項(xiàng)的所有取值構(gòu)成的集合為.

試題分析：(1)要求，大多數(shù)時候要先求，本題實(shí)質(zhì)就是有關(guān)系式，那么我們可以用代得，兩式相減，可得出與的關(guān)系，本題正好得到數(shù)列是等比數(shù)列，故易求得和；(2) 實(shí)質(zhì)上的關(guān)系式是，這讓我們聯(lián)想到數(shù)列是等差數(shù)列，這里難點(diǎn)就在于證明是等差數(shù)列，證明方法是把等式中的用換得到一個式子，兩式相減可得，此式中含有常數(shù)，故再一次用代換此式中的，兩式相減可消去得數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)的關(guān)系，可證得是等差數(shù)列，那么這里①的通項(xiàng)公式易求；對于②這類問題總是假設(shè)存在，然后去求，假設(shè)存在時，可知數(shù)列公差是2，即，由于它是“數(shù)列”，故任意兩項(xiàng)和還是數(shù)列中的項(xiàng)，即，可得是偶數(shù)，又由，得，娵，從而，下面對的值一一驗(yàn)證是否符合已知條件，
試題解析：（1）當(dāng)，，時，由得
                      ①
用去代得，，   ②
②—①得，，，
在①中令得，，則0，∴，
∴數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴=
（2）當(dāng)，，時，
，                          ③
用去代得，， ④
④—③得，      ，     ⑤
用去代得，，      ⑥
⑥—⑤得，，即，
∴數(shù)列是等差數(shù)列.∵，，
∴公差，∴
易知數(shù)列是等差數(shù)列，∵，∴.
又是“數(shù)列”，得：對任意，必存在使
，
得，故是偶數(shù)，
又由已知，，故
一方面，當(dāng)時，，對任意，
都有
另一方面，當(dāng)時，，，
則，
取，則，不合題意.
當(dāng)時，，，則
，
當(dāng)時，，，
，
又，∴或或或
所以，首項(xiàng)的所有取值構(gòu)成的集合為
（其他解法,可根據(jù)【解】的評分標(biāo)準(zhǔn)給分）與的關(guān)系，求和；(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和.