Question

【題目】設f（x）是定義在R上的奇函數，且對任意a、b∈R，當a+b≠0時，都有 ．
（1）若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大小關系；
（2）若f（9x﹣23x）+f（29x﹣k）＞0對任意x∈[0，+∞）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵對任意a，b，當a+b≠0，都有 ．

∴ ，

∵a＞b，∴a﹣b＞0，

∴f（a）+f（﹣b）＞0，

∵f（x）是定義在R上的奇函數，

∴f（﹣b）=﹣f（b），

∴f（a）﹣f（b）＞0，

∴f（a）＞f（b）

（2）解：由（1）知f（x）在R上是單調遞增函數，

又f（9x﹣23x）+f（29x﹣k）＞0，得f（9x﹣23x）＞﹣f（29x﹣k）=f（k﹣29x），

故9x﹣23x＞k﹣29x，即k＜39x﹣23x，

令t=3x，則t≥1，

所以k＜3t2﹣2t，而3t2﹣2t=3 ﹣ 在[1，+∞）上遞增，所以3t2﹣2t≥3﹣2=1，

所以k＜1，即所求實數k的范圍為k＜1

【解析】（1）由a＞b，得 ，所以f（a）+f（﹣b）＞0，由f（x）是定義在R上的奇函數，能得到f（a）＞f（b）．（2）由f（x）在R上是單調遞增函數，利用奇偶性、單調性可把f（9x﹣23x）+f（29x﹣k）＞0中的符號“f”去掉，分離出參數k后轉化為函數最值即可解決．
【考點精析】利用奇偶性與單調性的綜合對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．