Question

【題目】已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若Sm－1＝－4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)．

(1)求m的值；

(2)若數列{bn}滿足＝log2bn(n∈N*)，求數列{(an＋6)·bn}的前n項和．

Answer 1

【答案】（1）m＝5（2）Tn＝(n－1)×2n－1＋ (n∈N*)

【解析】試題分析：（1）計算am，am+1+am+2，利用等差數列的性質計算公差d，再代入求和公式計算m；

（2）求出an，bn，得出數列{（an+6）bn}的通項公式，利用錯位相減法計算．

試題解析：

(1)由已知得，am＝Sm－Sm－1＝4，

且am＋1＋am＋2＝Sm＋2－Sm＝14，

設數列{an}的公差為d，則有2am＋3d＝14，

∴d＝2.

由Sm＝0，得ma1＋×2＝0，

即a1＝1－m，

∴am＝a1＋(m－1)×2＝m－1＝4，

∴m＝5.

(2)由(1)知a1＝－4，d＝2，∴an＝2n－6，

∴n－3＝log2bn，得bn＝2n－3，

∴(an＋6)·bn＝2n×2n－3＝n×2n－2.

設數列{(an＋6)·bn}的前n項和為Tn，

則Tn＝1×2－1＋2×20＋…＋(n－1)×2n－3＋n×2n－2，①

2Tn＝1×20＋2×21＋…＋(n－1)×2n－2＋n×2n－1，②

①－②，得－Tn＝2－1＋20＋…＋2n－2－n×2n－1

＝－n×2n－1

＝2n－1－－n×2n－1，

∴Tn＝(n－1)×2n－1＋ (n∈N*)．