Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，在x軸的上方作半徑為1的圓Γ，與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O．平行于x軸的直線l1與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，A（x，y）是圓Γ外一動(dòng)點(diǎn)，A與圓Γ上的點(diǎn)的最小距離比A到l1的距離小1．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)l2是圓Γ平行于x軸的切線，試探究在y軸上是否存在一定點(diǎn)B，使得以AB為直徑的圓截直線l2所得的弦長(zhǎng)不變．

Answer 1

【答案】（I）；（II）存在滿足題意.

【解析】

（Ⅰ）由題意，圓Γ上距距離最小的點(diǎn)在上，于是依題意知的長(zhǎng)度等于到的距離，即可求解；

（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為，以為直徑的圓的圓心為，過(guò)作的垂線，垂足為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，于是，，根據(jù)弦長(zhǎng)公式建立關(guān)系，待定系數(shù)法，即可求解的值，可得其坐標(biāo)

解：（Ⅰ）設(shè)圓Γ的圓心為O1，顯然圓Γ上距A距離最小的點(diǎn)在AO1上，

于是依題意知AO1的長(zhǎng)度等于A到l1的距離．顯然A不能在l1的下方，

若不然A到l1的距離小于AO1的長(zhǎng)度，

故有，

即y=x2（x≠0）．

（Ⅱ）若存在這樣的點(diǎn)B，設(shè)其坐標(biāo)為（0，t），

以AB為直徑的圓的圓心為C，過(guò)C作l2的垂線，垂足為D．

則C點(diǎn)坐標(biāo)為（），于是CD=，

AB=

設(shè)所截弦長(zhǎng)為l，

則=CD2=

于是l2=（12-4t）y+8t-16，

弦長(zhǎng)不變即l不隨y的變化而變化，

故12-4t=0，即t=3．

即存在點(diǎn)B（0，3），滿足以AB為直徑的圓截直線l2所得的弦長(zhǎng)不變．