Question

【題目】已知函數f（x）= x2+ax+1（a∈R）． （Ⅰ）當a= 時，求不等式f（x）＜3的解集；
（Ⅱ）當0＜x＜2時，不等式f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）求關于x的不等式f（x）﹣ a2﹣1＞0的解集．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a= 時，不等式f（x）＜3， 即為 x2+ x+1＜3，即3x2+x﹣4＜0，
解得﹣ ＜x＜1，
則原不等式的解集為（﹣ ，1）；
（Ⅱ）當0＜x＜2時，不等式f（x）＞0恒成立，
即有 x2+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，
即為﹣a＜ x+ 在0＜x＜2恒成立，
由y= x+ 的導數為y′= ﹣ ，
可得函數y在（0， ）遞減，（ ，2）遞增，
則y= x+ 的最小值為2 = ，
即有﹣a＜ ，解得a＞﹣ ；
（Ⅲ）f（x）﹣ a2﹣1＞0，
即為3x2+2ax﹣a2＞0，
即（x+a）（3x﹣a）＞0，
當a=0時，即為x2＞0，解集為{x|x≠0}；
當a＞0時， ＞﹣a，解集為{x|x＞ 或x＜﹣a}；
當a＜0時， ＜﹣a，解集為{x|x＜ 或x＞﹣a}．
【解析】（Ⅰ）化簡為二次不等式的一般式，解不等式即可得到所求解集；（Ⅱ）由題意可得 x2+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，即為﹣a＜ x+ 在0＜x＜2恒成立，求出y= x+ 的導數，單調區間，可得最小值，即可得到a的范圍；（Ⅲ）f（x）﹣ a2﹣1＞0，即為3x2+2ax﹣a2＞0，即（x+a）（3x﹣a）＞0，對a討論，a=0，a＞0，a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．