設各項均為正數的數列
的前n項和為Sn，已知
，且
對一切
都成立．
（1）若λ=1，求數列的通項公式；
（2）求λ的值，使數列是等差數列．
(1)
；(2)
．
解析試題分析：(1)本題已知條件是
，我們要從這個式子想辦法得出
與
的簡單關系式，變形為
，這時我們聯想到累乘法求數列通項公式的題型，因此首先由得
，又
，這個式子可化簡為
，這樣就變成我們熟悉的已知條件，已知解法了；(2)這種類型問題，一種方法是從特殊到一般的方法，可由
成等差數列，求出，然后把
代入已知等式，得
，
，這個等式比第(1)題難度大點，把化為，有當n≥2時，
，整理，得
，特別是可變形為
，這樣與第(1)處理方法相同，可得
，即
，從而說不得
是等差數列．
試題解析：（1）若λ=1，則
，
．
又∵
，∴， 2分
∴
，
化簡，得
．① 4分
∴當
時，
．②
②-①，得
，∴
（）． 6分
∵當n=1時，
，∴n=1時上式也成立，
∴數列{an}是首項為1，公比為2的等比數列，an=2n-1（）． 8分
（2）令n=1，得
．令n=2，得
． 10分
要使數列是等差數列，必須有
，解得λ=0． 11分
當λ=0時，，且
．
當n≥2時，，
整理，得，， 13分
從而
，
化簡，得
，所以
． 15分
綜上所述，
（），
所以λ=0時，數列是等差數列． 16分
考點：遞推公式，累乘法，與的關系，等差數列．
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
和
的通項公式分別為
，
.將與中的公共項按照從小到大的順序排列構成一個新數列記為
.
(1)試寫出
，
，
，
的值，并由此歸納數列的通項公式；
(2)證明你在（1）所猜想的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在數列
中，若
（
，
，
為常數），則稱為
數列．
（1）若數列
是數列，
，
，寫出所有滿足條件的數列的前
項；
（2）證明：一個等比數列為數列的充要條件是公比為
或
；
（3）若數列
滿足
，
，
，設數列
的前
項和為
．是否存在
正整數
，使不等式
對一切
都成立？若存在，求出的值；
若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
若數列{an}滿足an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱數列{an}為“凸數列”．
(1)設數列{an}為“凸數列”，若a1＝1，a2＝－2，試寫出該數列的前6項，并求出前6項之和；
(2)在“凸數列”{an}中，求證：an＋3＝－an，n∈N*；
(3)設a1＝a，a2＝b，若數列{an}為“凸數列”，求數列前2011項和S2011.
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滿足：
，其中
.
是等比數列；
，求數列
的最大項.
滿足：
，公比
，數列
的前
項和為
，且
.
和
；
，證明：
.
,用
表示
當
時的函數值中整數值的個數.
,求
.
,若
,求
的最小值.
an.
是首項為
，公差為
的等差數列
，
是其前
項和.
，
，求數列
，
，且
、
、
成等比數列，證明:
.