Question

【題目】已知函數在定義域上滿足恒成立．

(1)求實數的值；

(2)令在上的最小值為，求證：．

Answer 1

【答案】(1)；(2)見解析

【解析】

(1) 若在上恒成立，則只需函數即可，，對進行分類討論可確定函數的單調性，可得當時函數有最大值，利用導數法可判斷，又，從而可求得的值；

(2)由(1)知，可得，令，可證，使得，從而可確定在上單調遞減，在上單調遞增，進而可得，即，即可證出．

(1)的定義域為，且，

①當時，，故在上單調遞增，

由于，所以當時，，不合題意．

②當時，，

所以當時，；當時，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

即．

所以要使在時恒成立，則只需，

亦即．

令，則，

所以當時，；當時，，

即在上單調遞減，在上單調遞增．

又，所以滿足條件的只有2，即．

(2)由(1)知，，

所以，

于是．

令，則，

由于，所以，即在上單調遞增；

又，，所以，使得，即，

且當時，；當時，，

即在上單調遞減；在上單調遞增．

所以，即，

所以，

所以．