Question

【題目】已知函數(shù)

若是函數(shù)的極值點(diǎn)，1是函數(shù)的一個零點(diǎn)，求的值；

當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

若對任意，都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）先求導(dǎo)得到，由，，得到的值，繼而求出的值；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（3）令，問題轉(zhuǎn)化為上有解即可，亦即只需存在使得即可，連續(xù)利用導(dǎo)函數(shù)，然后分別對，看是否存在使得，進(jìn)而得到結(jié)論.

（1），

∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，

∴．

∵1是函數(shù)的零點(diǎn)，得，

由，

解得，，

∴；

（2）時，，，

，

時，，遞增，

時，令，解得：，

令，解得：，

故在遞減，在遞增；

（3）令，，則為關(guān)于的一次函數(shù)且為增函數(shù)，

根據(jù)題意，對任意，都存在（ 為自然對數(shù)的底數(shù)），使得成立，

則在上，有解，

令，只需存在使得即可，

由于，

令，，，

∴在上單調(diào)遞增，，

①當(dāng)，即時，，即，在上單調(diào)遞增，∴，不符合題意．

②當(dāng)，即時，，

若，則，所以在上恒成立，即恒成立，∴在上單調(diào)遞減，

∴存在使得，符合題意．

若，則，∴在上一定存在實(shí)數(shù)，使得，

∴在上恒成立，即恒成立，∴在上單調(diào)遞減，

∴存在使得，符合題意．綜上所述，當(dāng)時，對任意，都存在（為自然對數(shù)的底數(shù)），使得成立．