Question

【題目】某廠生產一種機器的固定成本為0.5萬元，但每生產100臺，需要加可變成本（即另增加投入）0.25萬元，市場對此產品的年求量為500臺，銷售的收入函數為（萬元）（），其中是產品售出的數量（單位：百臺）.

（1）把利潤表示為年產量的函數；

（2）年產量是多少時，工廠所得利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）生產475臺所得利潤最大.

【解析】

（1）根據題意，分和兩種情況進行討論，分別根據利潤＝銷售收入成本，列出函數關系，即可得到利潤表示為年產量的函數；
（2）根據（1）所得的分段函數，分類討論，分別求出兩段函數的最值，然后進行比較，即可得到答案；

解：（1）當時，產品能售出百臺；

當時，只能售出5百臺，這時，成本為萬元，

依題意可得利潤函數為

.

即.

（2）當時，，
∵拋物線開口向下，對稱軸為，
∴當時，；
當時，為上的減函數，
．
綜合得，當時，取最大值，
∴年產量為475臺時，工廠利潤最大．