Question

（本小題滿分12分）

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F為CD的中點．

（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；

（Ⅱ）求面ACD和面BCE所成銳二面角的大小．

 

Answer 1

【答案】

(1)要證明面面垂直 ，則要通過判定定理，先證明DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF，以及AF⊥CD，從而得到證明。

(2) 45°

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF．

又∵AC=AD，F為CD中點，∴AF⊥CD，

因CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE.                              ……………… 4分

（Ⅱ）取CE的中點Q，連接FQ，因為F為CD的中點，則FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA兩兩垂直，以O為坐標原點，建立如圖坐標系，

則F（0，0，0），C（，0，0），A（0，0，），B（0，1，），E（1，2，0）．

設面BCE的法向量，則

即取．

又平面ACD的一個法向量為，

∴ ．

∴面ACD和面BCE所成銳二面角的大小為45°．

考點：空間中二面角和線面垂直的證明

點評：解決的關鍵是利用線面垂直的判定定理以及二面角的定義來分析求解，屬于基礎題 。