Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sinωx+cosωx．
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M(

2π

3

，2)，且0＜ω＜1時(shí)，求ω的值；
（2）當(dāng)若ω=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦函數(shù)兩角和公式化簡(jiǎn)f（x），使f（x）=2sin（ωx+

π

6

），把點(diǎn)m代入f（x）求出ω的值
（2）依據(jù)ω=2，可得f（x）的解析式．然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的最大和最小值．

解答：解：（1）f（x）=

3

sinωx+cosωx=2（

3

2

sinωx+

1

2

cosωx）=2sin（ωx+

π

6

）
∵函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M(

2π

3

，2)
∴f（

2π

3

）=2sin（

2π

3

ω+

π

6

）=2
∴sin（

2π

3

ω+

π

6

）=1
∴

2π

3

ω+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z
∴ω=3k+

1

2

∵0＜ω＜1
∴ω=

1

2

（2）ω=2時(shí)，f（x）=2sin（2x+

π

6

）
∵x∈[0，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)，即x=

π

6

時(shí)，[f（x）]_max=2
當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

時(shí)，即x=

π

2

時(shí)，[f（x）]_min=-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)兩角和公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．