Question

一位同學分別參加了三所大學自主招生筆試（各校試題各不相同），如果該同學通過各校筆試的概率分別為

3

4

，

2

3

，

1

2

，且該同學參加三所大學的筆試通過與否互不影響．
（I）求該同學至少通過一所大學筆試的概率；
（II）設該同學通過筆試的大學所數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）該同學參加三所大學的筆試通過與否互不影響．由題意知該同學至少通過一所大學的對立事件是一所大學也沒有通過，根據對立事件的概率寫出結果．
（II）通過大學考試的所數ξ的可能取值為0，1，2，3，然后分別求出其概率，列出分布列，求出數學期望．

解答：解：（I）如果該同學通過各校筆試的概率分別為

3

4

，

2

3

，

1

2

，
且該同學參加三所大學的筆試通過與否互不影響．
由題意知該同學至少通過一所大學的對立事件是一所大學也沒有通過，
∴要求的概率是P=1-

1

4

×

1

3

×

1

2

=1-

1

24

=

23

24

（II）通過大學考試的所數ξ的可能取值為0，1，2，3，那么
P（ξ=0）=

1

24

，P（ξ=1）=

1

4

，
該同學恰好通過兩所大學筆試包括三種情況，且這三種情況是互斥的，
∴該同學恰好通過兩所大學筆試的概率是P（ξ=2）=

1

4

×

2

3

×

1

2

+

3

4

×

1

3

×

1

2

+

3

4

×

2

3

×

1

2

=

11

24

P（ξ=3）=

1

4

，
∴通過大學考試的所數ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 24	1 4	11 24	1 4

通過大學考試的所數ξ的數學期望為：0×

1

24

+1×

1

4

+2×

11

24

+3×

1

4

=

23

12

點評：本題考查相互獨立事件同時發生的概率以及分布列和數學期望，本題解題的關鍵是利用對立事件寫出要求的概率，注意數字的運算不要出錯．