Question

設偶函數f（x）在（-∞，0]上是增函數，且f（-3）=0，則不等式

f(x)+f(-x)

x-3

＜0的解集為

{x|x＞3或-3＜x＜3}；

．

Answer 1

分析：分析題意偶函數f（x）在（-∞，0]上是增函數，說明函數f（x）關于y軸對稱，且有f（-3）=f（3）=0，可以大致刻畫出函數函數f（x）的草圖，從而判斷出f（x）+f（x）與0的關系，再利用不等式的性質進行求解；

解答：解：∵f（x）偶函數，f（x）=f（-x）且f（-3）=0，
∴f（-3）=f（3）=0，
∵f（x）在（-∞，0]上是增函數，且f（-3）=0，
∴當x＞-3時，f（x）＞0，當x＜-3時，f（x）＜0，
又∵f（x）偶函數，
∴f（x）在[0，+∞）上是減函數，且f（3）=0，
∴當x＞3時，f（x）＜0，當0＜x＜3時，f（x）＞0，
∴當-3＜x＜3時，f（x）+f（-x）＞0，
當x≥3或x≤-3時，f（x）+f（-x）≤0，
∵不等式

f(x)+f(-x)

x-3

＜0，
∴若x-3＞0，即x＞3，
則要求f（x）+f（-x）＜0，∴x＞3；
若x-3＜0，即x＜3，則要求f（x）+f（-x）＞0，
∴-3＜x＜3
綜上x＞3或-3＜x＜3，
故答案為：{x|x＞3或-3＜x＜3}；

點評：此題主要考查偶函數的性質，f（x）=f（-x），結合函數的增減性，來判斷f（x）與0的關系，再把抽象的函數與不等式結合起來求不等式的解集，看似考查不等式求解，但又不是具體的不等式，是一道不錯的題．