Question

【題目】已知定點、，直線、相交于點，且它們的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知定點,，過點的直線與曲線交于、兩點 ，則直線與斜率之積是否為定值，若是求出定值；若不是請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）線與斜率之積為，理由見解析.

【解析】

（1）設(shè)動點，直線、的斜率之積為，化簡計算可得曲線的方程；

（2）由已知直線過點，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，消去得 ，設(shè)、，利用韋達定理求解直線的斜率，化簡整理即可求出．

（1）設(shè)動點，直線、的斜率之積為，

化簡得，因此，曲線的方程為；

（2）由已知直線過點，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，

聯(lián)立直線與曲線的方程，消去得 ，

，

由韋達定理得，，

所以，直線與斜率之積為.

故直線與斜率之積為定值，定值為.