Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，則實數a的值為（ ）
A.1
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由選項知a＞0，
設g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，（x＞0），
若方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，
即g（x）=0有唯一解，
則g′（x）=2x﹣ ﹣2a= ，
令g′（x）=0，可得x2﹣ax﹣a=0，
∵a＞0，x＞0，∴x1= （另一根舍去），
當x∈（0，x1）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x1）上是單調遞減函數；
當x∈（x1 ， +∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x1 ， +∞）上是單調遞增函數，
∴當x=x2時，g′（x1）=0，g（x）min=g（x1），
∵g（x）=0有唯一解，
∴g（x1）=0，
∴ ，
∴ ，
∴2alnx1+ax1﹣a=0
∵a＞0，
∴2lnx1+x1﹣1=0，
設函數h（x）=2lnx+x﹣1，
∵x＞0時，h（x）是增函數，
∴h（x）=0至多有一解，
∵h（1）=0，
∴方程2lnx1+x1﹣1=0的解為x1=1，
即x1= =1，
∴ ，
∴當a＞0，方程f（x）=2ax有唯一解時a的值為 ．
故選：B．
構造函數g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，將方程有唯一解，轉化為g（x）=0有唯一解，即可求得a的值．