Question

【題目】已知等差數列{an}中，a1=1，且a1 ， a2 ， a4+2成等比數列．
（1）求數列{an}的通項公式及其前n項和Sn；
（2）設 ，求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等差數列{an}的公差為d，∵a1=1，且a1，a2，a4+2成等比數列．

∴ =a1（a4+2），即（1+d）2=1×（1+3d+2），解得d=2或﹣1．

其中d=﹣1時，a2=0，舍去．

∴d=2，可得an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

Sn= =n2．

（2）解： = ．

∴當n為偶數時， = =16．當n為奇數時， = = ．

∴數列{bn}的奇數項是以 為首項， 為公比的等比數列；偶數項是以8為首項，16為公比的等比數列．

∴數列{bn}的前2n項和T2n=（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）

= +

= （16n﹣16﹣n）．

【解析】（1）設等差數列{an}的公差為d，由a1=1，且a1，a2，a4+2成等比數列．可得： =a1（a4+2），即（1+d）2=1×（1+3d+2），解得d．經過驗證可得d，再利用等差數列的通項公式與求和公式即可得出．（2） = ．當n為偶數時， = =16．當n為奇數時， = = ．可得數列{bn}的奇數項是以 為首項， 為公比的等比數列；偶數項是以8為首項，16為公比的等比數列．利用求和公式即可得出．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和數列的通項公式，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．