Question

【題目】如圖,在多面體ABCDE中,DE∥AB,AC⊥BC,BC＝2AC＝2,AB＝2DE,且D點在平面ABC內的正投影為AC的中點H且DH＝1．

（1）證明：面BCE⊥面ABC

（2）求BD與面CDE夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）．

【解析】

（1）證明：取BC的中點F,連接EF,HF．證明四邊形DEFH為平行四邊形．然后證明DH⊥平面ABC,即可證明面ECB⊥面ABC．

（2）以C為原點,建立空間直角坐標系,求出平面CDE的法向量,求出,然后通過空間向量的數量積求解即可．

（1）證明：取BC的中點F,連接EF,HF．

∵H,F分別為AC,BC的中點,

∴HF∥AB,且AB＝2HF．

又DE∥AB,AB＝2DE,

∴HF∥DE且HF＝DE,

∴四邊形DEFH為平行四邊形．

∴EF∥DH,

又D點在平面ABC內的正投影為AC的中點H,

∴DH⊥平面ABC,

∴EF⊥平面ABC,

∵EF面BCE

∴面ECB⊥面ABC．

（2）解：∵DH⊥平面ABC,AC⊥BC,

∴以C為原點,建立空間直角坐標系,

則B（0,2,0）,D（,0,1）,E（0,1,1）

設平面CDE的法向（x,y,z）,（,0,1）,（0,1,1）,

則,取y＝1,則x＝2,z＝﹣1．

∴,

∵,設BD與面CDE夾角為,

∴,

∴BD與面CDE夾角的余弦值為 ．