Question

【題目】已知拋物線焦點(diǎn)為，直線過與拋物線交于兩點(diǎn).到準(zhǔn)線的距離之和最小為8.

（1）求拋物線方程；

（2）若拋物線上一點(diǎn)縱坐標(biāo)為，直線分別交準(zhǔn)線于.求證：以為直徑的圓過焦點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意及拋物線定義，可知，從而可求出拋物線方程；

（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，求出，的坐標(biāo)，進(jìn)而證得以為直徑的圓過焦點(diǎn)；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)出直線方程，點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，并與拋物線方程聯(lián)立，

借助根與系數(shù)的關(guān)系以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，證得，從而證出以為直徑的圓過焦點(diǎn).

（1）到準(zhǔn)線的距離之和等于到焦點(diǎn)的距離之和，即為，

最小為通徑，所以，解得，

所以拋物線方程為.

（2）拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程：，

由點(diǎn)縱坐標(biāo)為，得，

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，

直線方程為，此時(shí)，， ，

直線：，直線：，

所以，，，

所以，圓心坐標(biāo)為，半徑，

焦點(diǎn)到圓心的距離，

此時(shí)，以為直徑的圓過焦點(diǎn).

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，

設(shè)直線，設(shè)，

，得，，，

直線為代入準(zhǔn)線得：

同理可得

，

所以，所以焦點(diǎn)在以為直徑的圓上.

綜上，以為直徑的圓過焦點(diǎn).