Question

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且點O為AC中點． （Ⅰ）證明：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣C1的大小．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵AA1=A1C，且O為AC的中點， ∴A1O⊥AC，
又∵側面AA1C1C⊥底面ABC，交線為AC，且A1O平面AA1C1C，
∴A1O⊥平面ABC
解：（Ⅱ）如圖，以O為原點，OB，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
由已知可得O（0，0，0），A（0，﹣1，0）， ， ，
∴ ， ，
設平面AA1B的一個法向量為 ，
則有
令x1=1，得 ，z1=1
∴
設平面A1BC1的法向量為 ，
則有
令x2=1，則y2=0，z2=1，∴
∴
∴所求二面角的大小為

【解析】（Ⅰ）推導出A1O⊥AC，由此能證明A1O⊥平面ABC．（Ⅱ）以O為原點，OB，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣A1B﹣C1的大小．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．