Question

己知橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓C上，過F點的直線與橢圓C交于不同兩點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線斜率為1，求線段的長；

（3）設線段的垂直平分線交軸于點P（0，y0），求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）橢圓C的方程；（2）線段的長為；（3）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）根據橢圓的右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓C上，代入即可求得橢圓C的方程；（2）先用點斜式寫出直線方程，再和橢圓方程聯立，用弦長公式即可求出線段的長為；（3）當軸時，顯然.當與軸不垂直時，可設直線的方程為,把直線方程與橢圓方程聯立，設直線與橢圓的兩個交點為，，表示出，聯立即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）由題意：，，

，

所求橢圓方程為. 3分

（2）由題意，直線l的方程為：.

由得，

所以. 7分

（3）當軸時，顯然.

當與x軸不垂直時，可設直線的方程為.

由消去y整理得.

設，，線段MN的中點為，

則.

所以，

線段MN的垂直平分線方程為

在上述方程中令x＝0，得.

當時，；當時，.

所以，或.

綜上，的取值范圍是. 10分

考點：直線與圓錐曲線的關系、函數與方程思想.