Question

某化工企業生產甲、乙兩種產品．根據市場調查與預測，甲產品的利潤與投資成正比，其關系如圖（1）所示；乙產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖（2）所示．
（Ⅰ）分別將甲、乙兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式；
（Ⅱ）設該企業準備投資100萬元資金，并全部投入甲、乙兩種產品的生產．怎樣分配這100萬元資金，才能使企業獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元？（精確到1萬元）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設投資為x萬元，寫出甲產品的利潤、乙產品的利潤，根據圖形可得甲、乙兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式；（Ⅱ）設甲產品投入x萬元，則乙產品投入為100-x萬元，得出企業利潤的函數表達式，再利用換元法將原函數的最值問題轉化成二次函數的最大值問題解決即可得當甲產品投入多少萬元，企業獲得最大利潤．

解答：解：（Ⅰ）設投資為x萬元，甲產品的利潤為f（x）萬元，
乙產品的利潤為g（x）萬元
由題設f（x）=mx，g（x）=n

x

（mn≠0）（2分）
由圖（1）可知f(1)=0.25=

1

4

∴m=

1

4

，
由圖（2）可知g(4)=4.5=

9

2

，∴n=

9

4

（4分）
∴f(x)=

1

4

x(x≥0)，g(x)=

9

4

x

(x≥0)（6分）
（Ⅱ）設甲產品投入x萬元，則乙產品投入為100-x萬元，設企業利潤為y萬元
則y=f(x)+g(100-x)=

1

4

x+

9

4

100-x

（0≤x≤100）（8分）
設

100-x

=t，則0≤t≤10
y=

100-t2

4

+

9

4

t=-

1

4

t2+

9

4

t+25=-

1

4

(t-

9

2

)2+

481

16

（0≤t≤10）
∴t=

9

2

時，ymax=

481

16

≈30，此時x=79.75（10分）
∴當甲產品投入79.75萬元，則乙產品投入為20.25萬元時，企業獲得的最大利潤為30萬元．（12分）

點評：解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．構造二次函數模型，函數解析式求解是關鍵，然后利用配方法、數形結合法等方法求解二次函數最值．