Question

【題目】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，且時(shí)，，，，．

（Ⅰ）若，求，，，．

（Ⅱ）若，證明：．

（Ⅲ）若，求所有的正整數(shù)，使得對(duì)于任意，均有成立．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

試題(I)由a1=a且0<a<1代入得到a2；a2∈(3，4)，代入(2)得到a3；a3∈(0，1)，代入(1)得a4；a4∈(3，4)，代入(2)得到a4；a5∈(0，1)，代入(1)所以求得a5；
(II)分兩種情況①當(dāng)0<an≤3時(shí)和②當(dāng)3<an<4得到0<an+1<4得證；
(III)分三種情況若0<a<1；1≤a<2；若a=2，由特殊值得到k的特值，寫出k的一般的取值即可．

試題解析：

(Ⅰ)∵得，∴，

∵，∴，

，∴，

，∴．

(Ⅱ)證明：①當(dāng)時(shí)，，∴，

②當(dāng)，，∴，

綜上，時(shí)，．

(Ⅲ)①若，由Ⅰ知，所以，

∴ 當(dāng)時(shí)，對(duì)所有的，成立．

②若，則，且，

，∴，

∴ 當(dāng)時(shí)，對(duì)所有的，成立，

③若，則，∴，

∴ 時(shí)，對(duì)所有的，成立，

綜上，若，則，，

若，則，，

若，則，．