Question

【題目】

已知函數(shù)，其中，記函數(shù)的定義域為.

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）若函數(shù)的最大值為，求的值；

（3）若對于內(nèi)的任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3) .

【解析】分析：（1）根據(jù)使函數(shù)的解析式有意義的原則，構造關于自變量的不等式組，即可求解函數(shù)的定義域；

（2）利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，化簡函數(shù)的解析式，并根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可分析出函數(shù)的最小值為時，即可求解實數(shù)的值.

（3）若不等式恒成立，即在上恒成立，設出新函數(shù)，利用基本不等式求解最大值，即可求解實數(shù)的取值范圍.

詳解：（1）要使函數(shù)有意義：則有，解得－2＜x＜1

∴ 函數(shù)的定義域為

（2）

因為

所以

因為，所以，

即，

由，得，

（3）由在恒成立，

得

因為，所以

所以在恒成立

設，令

則

即，因為，

所以（當且僅當時，取等號

所以

所以