Question

平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩定點A（1，0），B（0，-1），動點P（x，y）滿足：=m+(m-1)(m∈R).

（1）求點P的軌跡方程；

（2）設點P的軌跡與雙曲線C:=1(a＞0,b＞0)交于相異兩點M、N，若以MN為直徑的圓經過原點，且雙曲線C的離心率等于，求雙曲線C的方程.

Answer 1

解：（1）由已知(x,y)=m(1,0)+(m-1)(0,-1)，

∴∴x+y=1,即點P的軌跡方程為x+y-1=0.

（2）由得(b²-a²)x²+2a²x-a²-a²b²=0.

∵點P軌跡與雙曲線C交于相異兩點M,N,

∴b²-a²≠0,且Δ=4a²-4(b²-a²)(-a²-a²b²)＞0,(*)設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),則

x₁+x₂=,x₁x₂=.

∵以MN為直徑的圓經過原點,∴·=0,即x₁x₂+y₁y₂=0.

∴x₁x₂+(1-x₁)(1-x₂)=0,得1+=0,即b²-a²-2a²b²=0. ①

∴e=.∴e²==3.∴b²=2a².②∴由①②解得a=,b=.

經檢驗a=,b=符合（*）式，∴雙曲線C的方程為4x²-2y²=1.