Question

平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0）、B（0，-2），點C滿足   

OC

=α

OA

+β

OB

，其中α、β∈R，且α-2β=1
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設點C的軌跡與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：

1

a2

+

1

b2

為定值；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于

2

2

，求橢圓長軸長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由向量等式，得點C的坐標，消去參數即得點C的軌跡方程；
（2）將直線與橢圓方程組成方程組，利用方程思想，求出x₁x₂+y₁y₂，再結合向量的垂直關系得到關于a，b的關系，化簡即得結論．
（3）由（2）得

1

a2

+

1

b2

=2從而 b2=

a2

2a2-1

又橢圓的離心率不大于

2

2

，得出 e 2=

a 2-b 2

a 2

≤

1

2

．解得橢圓長軸長2a的取值范圍即可．

解答：解：（1）設C(x，y)，因為

OC

=α

OA

+β

OB

，則(x，y)=α(1，0)+β(0，-2)
∴

x=α y=-2β

&∵α-2β=1  &∴x+y=1

即點C的軌跡方程為x+y=1
（2）∴

x+y=1 x2 a2 + y2 b2 =1

∴(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0∵a2+b2≠0
設M(x1，y1)，N(x2，y2)∴x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2-a2b2

a2+b2

由題意

OM

•

ON

=0∴x1x2+y1y2=0
∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+2x₁x₂
=1-

2a2

a2+b2

+

2(a2-a2b2)

a2+b2

=0∴a2+b2=2a2b2
∴

1

a2

+

1

b2

=2為定值
（3）∵e≤

2

2

∴e2= a2-b2 a2 ≤ 1 2

，
∵

1

a2

+

1

b2

=2，∴b2=

a2

2a2-1

∴1-

1

2a2-1

≤

1

2

，即

1

2a2-1

≥

1

2

，
∴

2

2

＜a≤

6

2

，從而

2

＜2a≤

6

∴橢圓實軸長的取值范圍是(

2

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、求曲線的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．