Question

如圖所示，曲線段OMB是函數f(x)=x²（0<x<6）的圖像，BA^x軸于A，曲線段OMB上一點M(t，f(t))處的切線PQ交x軸于P，交線段AB于Q，

（1）試用t表示切線PQ的方程；

（2）試用t表示出DQAP的面積g(t)；若函數g(t)在(m，n)上單調遞減，試求出m的最小值；

（3）若S_DQAPÏ[，64]，試求出點P橫坐標的取值范圍．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）設點M(t，t2)，又f/(x)=2x，∴ 過點M的切線PQ的斜率k=2t ∴ 切線PQ的方程為：y=2tx-t2 （2）由（1）可求得：P(，0)，Q(6，12t-t2) ∴ 由于g¢(t)=-12t+36，令g¢(t)<0，則4<t<12 考慮到0<t<6，∴ 4<t<6，∴ 函數g(t)的單調減區間是(4，6)，因此m的最小值為4． （3）由（2）知，g(t)在區間（4，6）上遞減，∴ 此時SDQAPÎ(g(6)，g(4))=(54，64) 令g¢(t)>0，則0<t<4，∴ g(t)在區間(0，4)上遞增，SDQAPÎ(g(0)，g(4))=(0，64) 又g(4)=64    ∴ g(t)的值域為(0，64) 由£g(t)£64，得1£t£6 ∴ ， ∴ 點P的橫坐標Î[，3)．