Question

如圖所示，曲線段OMB是函數?f(x)=?x²(0＜x＜6)的圖象，BA⊥x軸于A點，曲線段OMB上一點M(t,f(t))的切線PQ交x軸于P點，交線段AB于Q.

(1)試用t表示切線PQ的方程;

(2)試用t表示△QAP的面積g(t),若函數g(t)在(m,n)上單調遞減，試求出m的最小值;

(3)若S_△QAP∈［，64］，試求出點P橫坐標的取值范圍.

Answer 1

解析：（1）設點M(t,t²),?

又f′(x)=2x,?

∴過點M的切線PQ的斜率k=2t.?

∴切線PQ的方程為y=2tx-t².?

（2）由（1）可求得P(,0),Q(6,12t-t²),?

∴g(t)=S_△QAP= (6-t)(12t-t²)=-6t²+36t(0＜t＜6).?

由于g′(t)=t²-12t+36,?

令g′(t)＜0，得4＜t＜12,∴4＜t＜6.?

∴函數g(t)的單調遞減區間是（4，6），因此m的最小值為4.?

（3）由（2）知函數g(t)在（4，6）上遞減，??

∴此時S_△QAP∈(g(6),g(4))=(54,64).??

∴g(t)的值域為（0，64）.?

由S_△QAP∈［,64］，可得1≤t＜6.?

∴≤＜3,即點P的橫坐標的取值范圍是［，3）.