Question

【題目】考慮的方格表，其中每個方格內均填有數(shù)字0．每次操作可先選定三個實數(shù)、、，然后選定一行，將這一行每個方格中的數(shù)都加上（為該方格所在的列數(shù)，）；或選定一列，將這一列每個方格中的數(shù)都加上（為該方格所在的行數(shù)，），問：能否經(jīng)過有限次操作，使該方格表中四個角的數(shù)字變成1，而其他格的數(shù)字仍為0？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

不能．

反證法．

假設能經(jīng)過有限次操作使方格表變?yōu)樗膫�角均為1，而其他所有方格的數(shù)字仍為0．

考慮方格表左上角的子方格表．

設經(jīng)過有限次操作變換后，第行第列中的數(shù)為．

注意到，對任意二次函數(shù)都有

．

故任意操作均不改變的值，即為不變量．

又初始狀態(tài)方格表中所有方格中的數(shù)均為0，則該不變量為0．

而所要求達到的形式為，且，

與該結論矛盾．

故假設不成立，即不能經(jīng)過有限次操作使方格表中的數(shù)字變?yōu)橐�求的形式�?/span>