Question

已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點分別為F_{l v}F₂  ,離心率,A為右頂點,K為右準線與x軸的交點，且.

(1) 求橢圓的標準方程

(2) 設橢圓的上頂點為B,問是否存在直線l,使直線l交橢圓于C,D兩點，且橢圓的左焦點F₁恰為的垂心?若存在,求出l的方程;若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）設焦點坐標為F₁(-c，0)，F₂(c，0)，

由，得．    ①

由題知 A(a，0)，K(，0)，

∴ =(c-a，0)，=(-a，0)，

由得 　　　②

由①、②解得，c=1，從而b²=a²-c²=1，即b=1．

∴ 橢圓方程為．……………………………………………………5分

（Ⅱ）假設存在直線l滿足題意，B(0，1)，F₁(-1，0)，

于是直線F₁B的斜率為．

由于BF₁⊥CD，令l：y=-x+m，代入x²+2y²=2整理，得

3x²-4mx+2m²-2=0．

令C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，則

又=(x₁+1，y₁)·(x₂，y₂-1)

=x₁x₂+x₂+y₁y₂-y₁

=x₁x₂+x₂+(m-x₁)(m-x₂)-(m-x₁)

=2x₁x₂+m²-m(x₁+x₂)-m+(x₁+x₂)

=2x₁x₂ +(1-m)(x₁+x₂) +m²-m，

由，代入x₁+x₂，x₁x₂得，

整理得3m²+m-4=0，

解得m=1或． ……………………………………………………………11分

當m=1時，直線l恰過B點，于是B、C、D不構成三角形，故m=1舍去．

當的，滿足Δ=8(3-m²)>0．

故所求的直線l為：，即3x+3y+4=0．

【解析】略