Question

已知橢圓 (a>b>0)，A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x₀，0)．證明．

Answer 1

證明見解析

解析:

本小題考查橢圓性質、直線方程等知識，以及綜合分析能力．

證法一：設A、B的坐標分別為(x₁，y₁)和(x₂，y₂)．因線段AB的垂直平分線與x軸相交，故AB不平行于y軸，即x₁≠x₂．又交點為P(x₀，0)，故|PA|=|PB|，即

(x₁－x₀)²+=(x₂－x₀)²+     ①

∵    A、B在橢圓上，∴， ．

將上式代入①，得2(x₂－x₁) x₀=     ②

∵    x₁≠x₂，可得         ③

∵    －a≤x₁≤a，－a≤x₂≤a，且x₁≠x₂，∴  －2a<x₁+x₂<2a，

∴   

證法二：設A、B的坐標分別為(x₁，y₁)和(x₂，y₂)．因P(x₀，0)在AB的垂直平分線上，以點P為圓心，|PA|=r為半徑的圓P過A、B兩點，圓P的方程為(x－x₀)²+y²=r²，

與橢圓方程聯立，消去y得(x－x₀)²x²=r²－b²，

∴   ①

因A、B是橢圓與圓P的交點，故x₁，x₂為方程①的兩個根．由韋達定理得

x₁+x₂=x₀．

因－a≤x₁≤a，－a≤x₂≤a，且x₁≠x₂，故－2a<x₁+x₂=x₀<2a，

∴