Question

曲線y=f（x）=ax³+bx²+cx，當x=1-

3

時，f（x）有極小值，當x=1+

3

處有極大值，且在x=1處切線的斜率為

3

2

．
（I）求f（x）；
（II）曲線上是否存在一點P，使得y=f（x）的圖象關于點P中心對稱？若存在，請求出點P坐標，并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據1±

3

是極值點可知f′（1±

3

）=0，以及f′（1）=

3

2

建立方程組，解之即可；
（II）假設存在P（x₀，y₀）滿足則f（x₀+x）+f（x₀-x）=2y₀，代入函數解析式，化簡整理可求出所求．

解答：解：（I）f′（x）=3ax²+2bx+c
∵當x=1-

3

時，f（x）有極小值，當x=1+

3

處有極大值
∴f′（1±

3

）=0
即1±

3

為方程3ax²+2bx+c=0的兩根
∴-

2b

3a

=（1+

3

）+（1-

3

）

c

3a

=（1+

3

）（1-

3

）
∴b=-3a，c=-6a
又f（x）在x=1處切線的斜率為

3

2

．
∴f′（1）=

3

2

∴3a+2b+c=

3

2

∴a=-

1

6

，b=

1

2

，c=1
∴f（x）=-

1

6

x³+

1

2

x²+x
（II）假設存在P（x₀，y₀）滿足則f（x₀+x）+f（x₀-x）=2y₀，
∴-

1

6

（x₀+x）³+

1

2

（x₀+x）²+（x₀+x）-

1

6

（x₀-x）³+

1

2

（x₀-x）²+（x₀-x）=2y₀，
化簡得（1-x₀）x²+x₀²+2x₀-

1

3

x₀³=2y₀，
∵上式任意x∈R等式成立
∴

1-x0=0 2x=  x 2 0 +2x0 - 1 3 x 3 0

∴x₀=1，y₀=

4

3

∴曲線上存在P（1，

4

3

）滿足題意

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數在某點取得極值的條件，同時考查了方程組的解法，屬于中檔題．