Question

（1）已知f（x）=-2asin（2x+）+2a+b，x∈[，]，是否存在常數a，b∈Q時，使得f（x）的值域為[-3，-1]？若存在，求出a，b的值，若不存在，說明理由．
（2）若關于x的方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0在[-，]內有實數根，求實數a的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數的定義域，得sin（2x+）∈[-1，]，然后分a的正負進行討論，建立關于a、b的方程組，解之可得存在a=-1，b=1，符合題意；
（2）將原方程整理，得a²-2a=2（sinx+）²-，由當x∈[-，]時sinx∈[-，]，從而得到2（sinx+）²-的最大最小值，得原方程在[-，]內有實數根，則a²-2a∈[-，-1]，再解關于a的不等式即可得到實數a的范圍．
解答：（1）∵x∈[，]，則2x+∈[，]
∴sin（2x+）∈[-1，]---------（3分）
①當a＞0時，則，解得a=1，b=，此時b∉Q舍去；
②當a＜0時，則，解得a=-1，b=1，符合題意
綜上所述，存在a=-1，b=1，使f（x）的值域為[-3，-1]．----------------（7分）
（2）方程方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0，
化簡為：a²-2a=2（sinx+）²-，x∈[-，]
∵sinx在x∈[-，]的取值范圍為[-，]
∴2（sinx+）²-的最大值為-1，最小值為-
因此，若原方程在[-，]內有實數根，則a²-2a∈[-，-1]
解不等式組-≤a²-2a≤-1，得a=1，
即關于x的方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0在[-，]內有實數根時，實數a的范圍是{1}．
點評：本題給出三角函數表達式，討論使得函數值域為已知區間的參數取值范圍．著重考查了三角函數的圖象與性質、三角函數的最值和二次函數在閉區間上的值域等知識，屬于中檔題．