Question

已知：三個定點A(-

2

3

，0)，B(

2

3

，0)，C(-

1

3

，0)，動P點滿足|AP|-|BP|=

2

3

，
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）直線3x-3my-2=0截動點P的軌跡所得弦長為2，求m的值；
（3）是否存在常數λ，使得∠PBC=λ∠PCB，若存在，求λ的值，若不存在，并請說明理由．

Answer 1

（1）∵三個定點A(-

2

3

，0)，B(

2

3

，0)，C(-

1

3

，0)，動P點滿足|AP|-|BP|=

2

3

，
∴|PA|-|PB|=

2

3

＜ |AB|=

4

3

，
∴動點P的軌跡是A、B為焦點的雙曲線的右支…（1分）
設它的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，（x＞a），
則

2a= 2 3 2c= 4 3 c2=a2+b2

，解得：

a2= 1 9 b2= 1 3

，
故所求方程為

x2

1 9

-

y2

1 3

=1．（x＞0）．…（4分）
（2）解法一：若m=0，則x=

2

3

．
此時y=±1，即弦長為2，滿足題意．…（5分）
若m≠0，由

3x-3my-2=0 9x2-3y2=1

，消去y，得9x2-3(

2

3m

-

1

m

x)2=1，
化簡得：（27m²-9）x²+12x-3m²-4=0，
△=36×9m2(m2+1)，x1x2=

-3m2-4

27m2-9

1+ 1 m2

36×9m2(m2+1)

9|3m2-1|

=2
解得m=0，或m=±1．
∵m=±1時，x₁x₂＜0不滿足．
∴m=0…（7分）
解法二：設直線3x-3my-2=0與動點P的軌跡相交于Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），
∵直線3x-3my-2=0恒過雙曲線的焦點B
∴由雙曲線定義知|Q₁Q₂|=e（x1+x2-

1

3

）=2（x1+x2-

1

3

）=2．
∴x1+x2=

4

3

若m=0，則x1=x2=

2

3

，此時x₁+x₂=

4

3

滿足．…（5分）
若m≠0，由

3x-3my-2=0 9x2-3y2=1

，消去y得9x2-3(

2

3m

-

1

m

x)2=1，
化簡得：(27m2-9)x2+12x-3m2-4=0，x1+x2=

12

9-27m2

=

4

3

．
解得m=0與m≠0矛盾．∴m=0…（7分）
（直接由圖形得出m=0時，|Q₁Q₂|=2，得2分）
（3）當x=

2

3

時，|BP|=1，|BC|=1，
此時∠PCB=45°，∠PBC=90°．
猜想λ=2…（8分）
當x≠

2

3

時，設P（x，y），則y2=-3(

1

9

-x2)，
且tan∠PCB=

y

x+ 1 3

，
∴tan2∠PCB=

2( y x+ 1 3 )

1- y2 (x+ 1 3 )2

=

2y(x+ 1 3 )

(x+ 1 3 )2-y2

=

2y(x+ 1 3 )

(x+ 1 3 )2+3( 1 9 -x2)

=

2y

4 3 -2x

=

y

2 3 -x

，
而tan∠PBC=-tan∠PBx=

y

x- 2 3

=

y

2 3 -x

，
∴tan2∠PCB=tan∠PBC，
又∵0＜∠PBC＜π，0＜2＜PBC＜π，
∴2∠PCB=∠PBC，
即存在λ=2，
使得：∠PBC=λ∠PCB．…（10分）