Question

現有一張長為80 cm，寬為60cm的長方形鐵皮ABCD，準備用它做成一只無蓋長方體鐵皮盒，要求材料利用率為100%，不考慮焊接處損失．如圖，若長方形ABCD的一個角剪下一塊正方形鐵皮，作為鐵皮盒的底面，用余下材料剪拼后作為鐵皮盒的側面，設長方體的底面邊長為x(cm)，高為y(cm)，體積為V(cm³)

(1)求出x與 y的關系式；
(2)求該鐵皮盒體積V的最大值．

Answer 1

（1）y＝，0＜x＜60.（2）32000 cm³

(1)由題意得x²＋4xy＝4 800，
即y＝，0＜x＜60.
(2)鐵皮盒體積V(x)＝x²y＝x²×＝－x³＋1 200x，V′(x)＝－x²＋1200，令V′(x)＝0，得x＝40，因為x∈(0,40)，V′(x)＞0，V(x)是增函數；x∈(40,60)，V′(x)＜0，V(x)是減函數，所以V(x)＝－x³＋1 200x，在x＝40時取得極大值，也是最大值，其值為32 000 cm³.
所以該鐵皮盒體積V的最大值是32000 cm³.