【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且
，平面PCD⊥平面ABCD，
，點E為線段PC的中點，點F是線段AB上的一個動點.
（1）求證：平面
平面PBC；
（2）設二面角
的平面角為
，試判斷在線段AB上是否存在這樣的點F，使得
，若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析（2）存在；
【解析】
（1）根據平面與平面垂直的性質易知
平面
，從而
，由三線合一易證
，從而
平面
，即可由面面垂直的判定定理證明平面
平面PBC；
（2）在平面內過
作
交
于點
，以為原點，以
，
，
所在直線分別為
軸，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并由題意設
，表示出平面
的法向量和平面的法向量.根據同角三角函數關系式可由
求得
，結合空間向量夾角運算求得
的值，進而確定
的值.
（1）
四邊形
是正方形，
∴
.
∵平面
平面
平面
平面
，
∴平面.
∵
平面
，
∴.
∵
，點
為線段的中點，
∴.
又∵
，
∴平面.
又∵平面，
∴平面平面.
（2）由（1）知平面，
∵
，
∴
平面.
在平面內過作交于點，
∴
，故，，兩兩垂直，以為原點，
以，，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系
.
因為
，
，∴
.
∵平面，則
，
，
又為的中點，
，假設在線段
上存在這樣的點
，使得
，設
，
，
，
設平面的法向量為
，則
∴
，令
，則
，則
平面，
平面的一個法向量
，，則
∴
.
，解得
，
∴
科學實驗活動冊系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】工廠需要建造一個倉庫，根據市場調研分析，運費與工廠和倉庫之間的距離成正比，倉儲費與工廠和倉庫之間的距離成反比，當工廠和倉庫之間的距離為4千米時，運費為20萬元，倉儲費為5萬元.求：工廠和倉庫之間的距離為多少千米時，運費與倉儲費之和最小，最小為多少萬元.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一般來說，一個人腳掌越長，他的身高就越高.現對10名成年人的腳掌長
與身高
進行測量，得到數據（單位均為
）作為樣本如下表所示.
腳掌長（x） | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 |
身高（y） | 141 | 146 | 154 | 160 | 169 | 176 | 181 | 188 | 197 | 203 |
（1）在上表數據中，以“腳掌長”為橫坐標，“身高”為縱坐標，作出散點圖后，發現散點在一條直線附近，試求“身高”與“腳掌長”之間的線性回歸方程
；
（2）若某人的腳掌長為
，試估計此人的身高；
（3）在樣本中，從身高180cm以上的4人中隨機抽取2人作進一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm以上的概率．
(參考數據：
，
，
，
)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
、
是以
為直徑的圓上兩點，
，
，
是上一點，且
，將圓沿直徑折起，使點在平面
的射影
在
上，已知
.
（1）求證：
⊥平面
；
（2）求證：
平面
；
（3）求三棱錐
的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數）．以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（1）求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；
（2）若直線與曲線交于
、
兩點，設
，求
的值．
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