Question

【題目】已知函數(shù)。

（1）若函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，且關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為。(2)

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)，求得的值，得到函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，符合題意，

當(dāng)時(shí)， ，該方程有一正一負(fù)根，即存在，使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合，求得的取值范圍，即可求得的范圍．

（1）依題可知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，

因?yàn)?函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為，所以，即，得，

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以，

所以，

令，即，解得，

令即，解得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）當(dāng)時(shí)，符合題意，

當(dāng)時(shí)，，令，

因?yàn)?/span>，所以，則該方程有兩不同實(shí)根，且一正一負(fù)，

即存在，使得，

可知時(shí)，，時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，

所以，即，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，且時(shí)，，所以，

由，得，

設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減，

所以，即為的范圍，

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．