Question

【題目】設函數 ．
（Ⅰ）當 時，討論 的單調性；
（Ⅱ）設 ，若 恒成立，求 的取值范圍

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，當 時， ，

∴ ，

∵ 在 上單調遞增，且 ，

∴ 時， 時， ，

∴ 在 上單調遞減，在 上單調遞增．

（Ⅱ）（方法一）由題可得， ，

則 ，

∵ ，∴ 在 上單調遞增， ， ，

∴ 使得 ，則 ，

由 知 ，且 時， 時， ，

∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，

∴ 的取值范圍是 ．

（方法二）由題可得 恒成立，

令 ，則 ，

∴ 時， 時， ，

∴ ，∴ ，解得： ，

∴ 的取值范圍是 ．

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）法一：求出g（x）的導數，得到g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可；法二：問題轉化為恒成立，令,根據函數的單調性求出a的范圍即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的單調性的相關知識，掌握注意：函數的單調性是函數的局部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種．