Question

4個(gè)男同學(xué)，3個(gè)女同學(xué)站成一排，下列情況下有多少種不同的排法？
（1）3個(gè)女同學(xué)必須排在一起；
（2）任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰；
（3）女同學(xué)從左到右按高矮順序排．

Answer 1

分析：（1）用捆綁法，先把三個(gè)女同法學(xué)捆綁在一起，當(dāng)做一個(gè)元素和4個(gè)男同學(xué)進(jìn)行排列，再將3個(gè)女同學(xué)進(jìn)行全排列，利用分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案； 
（2）用插空法，先將男同學(xué)進(jìn)行全排列，易得4個(gè)男同學(xué)之間有5個(gè)空擋，再在其中任找3個(gè)空擋把3名女同學(xué)放進(jìn)去，由排列、組合公式可得其情況數(shù)目，進(jìn)而利用分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案；
（3）根據(jù)題意，先從7個(gè)位置中選4個(gè)排男同學(xué)，再將剩下的3個(gè)就按女同學(xué)從左到右按高矮順序，排進(jìn)剩余的3個(gè)空位，由排列可得其情況數(shù)目，進(jìn)而利用分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：
①把三個(gè)女同法學(xué)捆綁在一起和4個(gè)男同學(xué)進(jìn)行排列，有A₅⁵種不同方法，
②3個(gè)女同學(xué)進(jìn)行全排列，有A₃³種不同的方法，
利用分步計(jì)數(shù)原理，則3個(gè)女同學(xué)必須排在一起的不同排法有N₁=A₃³•A₅⁵=6×120=720種； 
（2）根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：
①先排4個(gè)男同學(xué)：有A₄⁴種不同的方法，
②4個(gè)男同學(xué)之間有5個(gè)空擋，任找3個(gè)空擋把3名女同學(xué)放進(jìn)去，有A₅³種不同的方法
利用分步計(jì)數(shù)原理，任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰的不同排法有N₂=A₄⁴•A₅³=24×60=1440種，
（3）分兩步進(jìn)行：
①先從7個(gè)位置中選4個(gè)排男同學(xué)，有A₇⁴種排法，
②剩下的3個(gè)就按女同學(xué)從左到右按高矮順序排列，排進(jìn)剩余的3個(gè)空位，有1種排法，
則有1×A₇⁴=7×6×5×4×1=840種不同方法．

點(diǎn)評：本題考查排列、組合的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意的要求，合理的將事件分成幾步來解決，其次要注意這類問題的特殊方法，如插空法、捆綁法．