Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，前n項的和S_n=

(an+1)2

4

（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設等比數列{b_n}的首項為b，公比為2，前n項的和為T_n．若對任意n∈N^*，S_n≤T_n均成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出a₁，當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1可得a_n，a_n-1間的遞推式，由此可判斷{a_n}為等差數列，從而可得數列的通項公式；
（2）求出S_n，T_n，則S_n≤T_n對任意n∈N^*恒成立即

1

b

≤

2n-1

n2

對任意∈N^*均成立，令C_n=

2n-1

n2

，則問題等價于

1

b

小于等于C_n的最小值，通過作差C_n+1-C_n可判斷{C_n}的單調性，由此即可求得其最小值；

解答：解：（1）a1=

(a1+1)2

4

，解得a₁=1，
當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1=

(an+1)2-(an-1+1)2

4

，
得（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，
又a_n＞0，所以a_n-a_n-1=2，
故{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，
所以a_n=2n-1．（n∈N^*）．
（2）由（1）知，Sn=n2，T_n=b（2ⁿ-1），
所以S_n≤T_n對任意n∈N^*恒成立，當且僅當

1

b

≤

2n-1

n2

對任意∈N^*均成立，
令C_n=

2n-1

n2

，因為C_n+1-C_n=

2n+1-1

(n+1)2

-

2n-1

n2

=

(n2-2n-1)•2n+(2n+1)

n2(n+1)2

，
所以C₁＞C₂，且當n≥2時，C_n＜C_n+1，
因此

1

b

≤C2=

3

4

，即b≥

4

3

．

點評：本題考查數列遞推式、等差數列、等比數列的通項公式及求和公式，考查恒成立問題，恒成立問題的常用解決方法是轉化為求最值．