Question

如圖,在長方體中,點在棱上.

（1）求異面直線與所成的角；
（2）若二面角的大小為,求點到平面的距離.

Answer 1

(1)；(2).

試題分析：根據幾何體的特征，可有兩種思路，即“幾何法”和“向量法”.
思路一:(1)連結.由是正方形知.
根據三垂線定理得,即得異面直線與所成的角為.
(2)作,垂足為,連結,得.為二面角的平面角,.于是,根據,得,又,得到.
設點到平面的距離為,于求得.
思路二:分別以為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系.
(1)由,得,
設,又,則.
計算得即得解.
(2)為面的法向量,設為面的法向量,
由,
得到.①
由,得,根據,即,
得到②
由①、②,可取,
點到平面的距離.
試題解析：解法一:(1)連結.由是正方形知.
∵平面,
∴是在平面內的射影.
根據三垂線定理得,
則異面直線與所成的角為.                    5分
(2)作,垂足為,連結,則.
所以為二面角的平面角,.于是,
易得,所以,又,所以.
設點到平面的距離為,則由于即,
因此有,即,∴.       ..  12分
解法二:如圖,分別以為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系.
(1)由,得,
設,又,則.
∵∴,則異面直線與所成的角為.        5分
(2)為面的法向量,設為面的法向量,則
,
∴.①
由,得,則,即,∴②
由①、②,可取,又,
所以點到平面的距離.             12分