Question

已知數列{a_n}是各項均不為0的等差數列，S_n為其前n項和，且滿足a_n²=S_2n-1（n∈N⁺）．若不等式

λ

an+1

≤

n+8•(-1)n

n

對任意的n∈N⁺恒成立，則實數λ的最大值為

 

．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：在已知遞推式中分別取n=1，2，聯立方程組求得首項和公差，求出等差數列的通項公式，進一步得到a_n+1，代入不等式

λ

an+1

≤

n+8•(-1)n

n

后分n為偶數和奇數變形，分離參數λ后分別利用基本不等式求最值和函數單調性求最值，取交集后得到λ的取值范圍，則λ的最大值可求．

解答： 解：在a_n²=S_2n-1中，
令n=1，n=2，
得

a12=S1 a22=S3

，即

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
a_n+1=2n+1．
①當n為偶數時，要使不等式

λ

an+1

≤

n+8•(-1)n

n

恒成立，
即需不等式λ≤

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立，
∵2n+

8

n

≥8，等號在n=2時取得，
∴此時λ需滿足λ≤25；
②當n為奇數時，要使不等式

λ

an+1

≤

n+8•(-1)n

n

恒成立，
即需不等式λ≤

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立，
∵2n-

8

n

隨n的增大而增大，
∴n=1時，2n-

8

n

取得最小值-6．
則λ≤-6-15=-21．
綜合①、②可得λ的取值范圍是λ≤-21．
∴實數λ的最大值為-21．
故答案為：-21．

點評：本題考查數列遞推式，考查了等差數列通項公式的求法，訓練了利用基本不等式和函數單調性求函數的最值，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．