Question

如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點.

(1)求證:AM∥平面BDE;

(2)求證:AM⊥平面BDF;

(3)求二面角ADFB的大小.

Answer 1

解法一:(1)證明:記AC與BD的交點為O,連結OE,

∵O、M分別是AC、EF的中點,四邊形ACEF是矩形,

∴四邊形AOEM是平行四邊形.

∴AM∥OE.

∵OE平面BDE,AM平面BDE,

∴AM∥平面BDE.

 (2)證明:∵BD⊥AC,BD⊥AF，且AC交AF于A，

∴BD⊥平面AE.

又∵AM平面AE，

∴BD⊥AM.

∵AD=，AF=1，OA=1,

∴AOMF是正方形.

∴AM⊥OF.又AM⊥BD,且OF∩BD=O,

∴AM⊥平面BDF.

(3)解:設AM∩OF=H,過H作HG⊥DF于G,連結AG,

由三垂線定理得AG⊥DF,

∴∠AGH是二面角A-DF-B的平面角.

∵AH=,AG=,

∴sin∠AGH=.

∴∠AGH=60°.

∴二面角ADFB的大小為60°.

解法二:(1)證明:建立如圖所示的空間直角坐標系.

設AC∩BD=N,連結NE,則點N、E的坐標分別是(,,0)、(0,0,1),

∴=(-,-,1).

又點A、M的坐標分別是(,,0)、( ,,1),

∴=(-,-,1).

∴=且與不共線.

∴NE∥AM.

又∵NE平面BDE,AM平面BDE,

∴AM∥平面BDE.

(2)證明: =(-,-,1),

∵D(,0,0),F(, ,1),∴DF=(0, ,1).

∴·=0.∴⊥.

同理, ⊥.又DF∩BF=F,

∴AM⊥平面BDF.

(3)解:∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∩AD=A,

∴AB⊥平面ADF.

∴=(,0,0)為平面ADF的法向量.

∵·=(,,1)·(, ,0)=0,

·=(,,1)·(·,1)=0,

得⊥,⊥,

∴為平面BDF的法向量.

∴cos〈, 〉=.

∴與的夾角是60°,

即求二面角ADFB的大小是60°.