Question

【題目】已知棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別是棱B1C1 ， C1D1的中點． （Ⅰ）求AD1與EF所成角的大小；
（Ⅱ）求AF與平面BEB1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）建立如圖所示的坐標系，D（0，0，0），A（1，0，0）， E（0， ，1），F（ ，1，1），D1（0，0，1），
=（﹣1，0，1）， =（ ， ，0），
設AD1與EF所成角為α，∴cosα=| |= ，
∴AD1與EF所成角的大小為60°；
（Ⅱ） =（0，0，1）， =（﹣1，﹣ ，1），
設平面BEB1的法向量為 =（x，y，z），則 ，
取 =（1，﹣2，0），
∵ =（﹣ ，1，1），
∴AF與平面BEB1所成角的正弦值為| |= ，
∴AF與平面BEB1所成角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）建立如圖所示的坐標系，利用向量法求AD1與EF所成角的大小；（Ⅱ）求出平面BEB1的法向量，利用向量法求AF與平面BEB1所成角的余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用異面直線及其所成的角和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．