Question

【題目】已知函數f（x）=pe﹣x+x+1（p∈R）． （Ⅰ）當實數p=e時，求曲線y=f（x）在點x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）當p=1時，若直線y=mx+1與曲線y=f（x）沒有公共點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當p=e時，f（x）=e1﹣x+x+1， 可得導數f′（x）=﹣e1﹣x+1，
∴f（1）=3，f′（1）=0，
∴曲線y=f（x）在點x=1處的切線方程為y=3；
（Ⅱ）∵f（x）=pe﹣x+x+1，∴f′（x）=﹣pe﹣x+1，
①當p≤0時，f′（x）＞0，則函數f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，+∞）；
②當p＞0時，令f′（x）=0，得ex=p，解得x=lnp．
則當x變化時，f′（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，lnp）	lnp	（lnp，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	遞減	2+lnp	遞增

所以，當p＞0時，f（x）的單調遞增區間為 （lnp，+∞），單調遞減區間為（﹣∞，lnp）．
（Ⅲ）當p=1時，f（x）=e﹣x+x+1，直線y=mx+1與曲線y=f（x）沒有公共點，
等價于關于x的方程mx+1=e﹣x+x+1在（﹣∞，+∞）上沒有實數解，
即關于x的方程（m﹣1）x=e﹣x（*）在（﹣∞，+∞）上沒有實數解．
①當m=1時，方程（*）化為e﹣x=0，
顯然在（﹣∞，+∞）上沒有實數解．
②當m≠1時，方程（*）化為xex= ，令g（x）=xex ， 則有g′（x）=（1+x）ex ．
令g′（x）=0，得x=﹣1，則當x變化時，g'（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，+∞）
g'（x）	﹣	0	+
g（x）	↘		↗

當x=﹣1時， ，同時當x趨于+∞時，g（x）趨于+∞，
從而g（x）的值域為 ．
所以當 ＜﹣ 時，方程（*）無實數解，解得實數m的取值范圍是（1﹣e，1）．
綜合①②可知實數m的取值范圍是（1﹣e，1]．
【解析】（Ⅰ）求出當p=e時的函數f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，運用點斜式方程即可得到所求切線的方程；（Ⅱ）求出f（x）的導數，討論①當p≤0時，②當p＞0時，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間；（Ⅲ）當p=1時，f（x）=e﹣x+x+1，直線y=mx+1與曲線y=f（x）沒有公共點，等價于關于x的方程mx+1=e﹣x+x+1在（﹣∞，+∞）上沒有實數解，即關于x的方程（m﹣1）x=e﹣x（*）在（﹣∞，+∞）上沒有實數解．討論當m=1，當m≠1時，通過方程的解和構造函數，求出導數和單調區間，可得值域，即可得到所求m的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．