Question

如圖，橢圓C₀：＝1(a>b>0，a、b為常數(shù))，動圓C₁：x²＋y²＝，b<t₁<a.點A₁、A₂分別為C₀的左、右頂點，C₁與C₀相交于A、B、C、D四點．

(1)求直線AA₁與直線A₂B交點M的軌跡方程；
(2)設(shè)動圓C₂：x²＋y²＝與C₀相交于A′，B′，C′，D′四點，其中b<t₂<a，t₁≠t₂.若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：為定值．

Answer 1

（1）＝1(x<－a，y<0)．（2）見解析

(1)解：設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₁，－y₁)，又知A₁(－a，0)，A₂(a，0)，
則直線A₁A的方程為y＝(x＋a)，①直線A₂B的方程為y＝(x－a)．②
由①②得y²＝(x²－a²)．③由點A(x₁，y₁)在橢圓C₀上，故＝1.
從而＝b²，代入③得＝1(x<－a，y<0)．
(2)證明：設(shè)A′(x₂，y₂)，由矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，得4|x₁||y₁|＝4|x₂||y₂|，故.因為點A，A′均在橢圓上，所以b²＝b².由t₁≠t₂，知x₁≠x₂，所以＝a²，從而＝b²，因此＝a²＋b²為定值