Question

【題目】已知命題p：實數x滿足x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，命題q：實數x滿足 ． （Ⅰ）若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）命題p：實數x滿足x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，a＜x＜4a，解集A=（a，4a）． 命題q：實數x滿足 ，解得2＜x≤4．解集B=（2，4]．
a=1，且p∧q為真，則A∩B=（1，4）∩（2，4]=（2，4）．
∴實數x的取值范圍是（2，4）．
（Ⅱ）￢p：（﹣∞，a]∪[4a，+∞）．
￢q：（﹣∞，2]∪（4，+∞）．
若￢p是￢q的充分不必要條件，則 ，解得1≤a≤2．
∴實數a的取值范圍是[1，2]
【解析】（I）命題p：實數x滿足x2﹣5ax+4a2＜0，解集A=（a，4a）．命題q：實數x滿足 ，解集B=（2，4]． a=1，且p∧q為真，求A∩B即可得出．
（Ⅱ）￢p：（﹣∞，a]∪[4a，+∞）．￢q：（﹣∞，2]∪（4，+∞）．利用￢p是￢q的充分不必要條件，即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用復合命題的真假的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真．